Задача 1:

Найдите все вещественные решения уравнения 4x² – 40[x] + 51 = 0.

Задача 2:

По стороне AB равностороннего треугольника ABC с высотой 1 катится круг радиуса 1 (центр круга находится по ту же сторону от AB, что и вершина C). Докажите, что длина дуги окружности заключенной внутри треугольника постоянна.

Задача 3:

Найдите все натуральные числа, равные квадрату количества своих натуральных делителей.

Задача 4:

Их чисел от 1 до 17 выбрали 8 различных чисел a₁,a₂, … ,a₈. Докажите, что существует такое k > 0, что для по крайней мере трех пар a_i – a_j = k. Найдите 7 чисел от 1 до 17 такие, что уравнение a_i – a_j = k не имеет трех различных решений для любого k.

Задача 5:

x,y,z ≥ 0, x + y + z = 1. Докажите, что x²y + y²z + z²x ≤ 4/27 и определите, когда достигается равенство.