Задача 1:

На стороне AD треугольника ABD взяли точку C такую, что  ∠ ABC = 90,  ∠ CBD = 30, |AB| = |CD| = 1. Найдите |AC|.

Задача 2:

В соревновании, состоящим из M состязаний участвовали A,B и C. За первое место в любом состязании присуждалось p₁, за второе – p₂, за третье – p₃ очков, где p₁ > p₂ > p₃ > 0 и все p_i целые. В итоге A набрал 22, а B и C – по 9 очков. B победил в забеге на 100 метров. Найдите M и определите, кто был вторым в прыжке в высоту.

Задача 3:

На полуокружности диаметром AB выбрали хорду ST длины a. M – середина ST, P – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на AB. Докажите, что величина угла SPM не зависит от положения хорды ST.

Задача 4:

. Докажите, что F(n,k) делится на F(n,1).

Задача 5:

Последовательность u_n задана рекуррентно: . Докажите, что бесконечно много членов последовательности делится на 1986.