Задача 1:

a и b – положительные числа, a,A₁,A₂,b – арифметическа прогрессия, a,G₁,G₂,b – геометрическая прогрессия. Докажите, что A₁A₂ ≥ G₁G₂.

Задача 2:

Докажите, что сумма всех двугранных углов тетраэдра не постоянна (в отличие от суммы углов треугольника).

Задача 3:

a,b,c,d,e – целые числа, притом 1 ≤ a < b < c < d < e. Докажите, что

([a,b] – наименьшее общее кратное a и b).

Задача 4:

Волк, сидящий в центре круглой клетки замечает зайца у края и начинает за ним гнаться. Заяц убегает с постоянной скоростью вдоль края клетки, волк догоняет зайца с той же скоростью при этом в любой момент времени находится на отрезке, соединяющем зайца с центром круга. Докажите, что волк догонит зайца в тот момент, когда заяц пробежит четверть круга.

Задача 5:

f(n) – количество самонепересекающихся путей длины n выходящих из начала координат клетчатой плоскости и идущих вдоль линий сетки. Вычислите f(1),f(2),f(3),f(4), и докажите, что 2ⁿ < f(n) ≤ 4 • 3^n – 1.