Задача 1: На биллиардном столе лежат 15 шаров с номерами 1,2,3, … ,14,15. Как разложить их на шесть групп, чтобы сумма номеров шаров в каждой группе была квадратом натурального числа?

Решение: 1,3;4;2,14;5,11;6,10;7,8,9,12,13,15.

Задача 2: Докажите, что количество таких моментов времени от 2 часов утра до 10 часов вечера, когда часовая и минутная стрелка образуют угол 60  ,является четным.

Решение: Каждому такому моменту соответствует зеркально симметричный, то есть все они разбиваются на пары.

Задача 3: ABC – прямоугольный равнобедренный треугольник с прямым углом C. M и N – середины катетов AC и BC. Точка X лежит на луче BM, причем BX = 2BM; точка Y лежит на луче NA, причем NY = 2NA. Докажите, что угол BXY – прямой.

Решение: Заметим, что  ∆ CAN =  ∆ CBM. XABC – параллелограмм, значит, XA || CB и XA = CB, следовательно,  ∠ YAX =  ∠ ANC. Проведем YO ⊥ XA. Тогда  ∠ OYA =  ∠ CAN, YA = AN, значит, OA = CN = ½XB = ½XA и треугольник XYA равнобедренный.  ∠ YXA =  ∠ XAY,  ∠ YXB =  ∠ YXA +  ∠ AXB =  ∠ ANC +  ∠ NAC = 90  .

Задача 4: Какую цифру надо поставить вместо вопросительного знака в числе 66 … 6?5 … 5 (шестерка и пятерка написаны по 50 раз), чтобы получившееся число делилось на 7?

Решение: Заметим, что 111111 делится на 7. Значит, числа, состоящие из 48 пятерок и 48 шестерок и делятся на 7. Теперь достаточно, чтобы число 66?55 делилось на 7. Это возможно, если вставить 2 или 9.