Задача 1:

Докажите, что уравнение [x] + [2x] + [4x] + [8x] + [16x] + [32x] = 12345 не имеет решений.

Задача 2:

P – точка касания окружности радиуса r и прямой l. R – произвольная точка на окружности, Q – основание перпендикуляра, опущенного из R к l. Найдите максимум площади треугольника PQR.

Задача 3:

Дано конечное число прямых на плоскости. Докажите, что можно найти окружность сколь угодно большого радиуса, которая не пересекается ни с одной прямой. Докажите, что можно так расположить счетное количество прямых на плоскости, что любая окружность будет пересекаться по крайней мере с одной прямой.

Задача 4:

P(x) и Q(x) – многочлены, удовлетворяющие равенству P(Q(x)) = Q(P(x)) при всех вещественных x. Уравнение P(x) = Q(x) не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение P(P(x)) = Q(Q(x)) также не имеет вещественных корней.

Решение:

Допустим, что P(P(x₀)) = Q(Q(x₀)) = a пусть P(x₀) = y₁,Q(x₀) = y₂, тогда y₁ ≠ y₂, Но Q(P(x₀)) = P(Q(x₀)), откуда Q(y₁) = P(y₂) = b. Очевидно, что если a ≠ b, то многочлен P – Q принимает значения различных знаков в точках y₁ и y₂.

Задача 5:

11 театральных трупп приныли участие в фестивале. Каждый день некоторые труппы выступали, а остальные – смотрели выступления. Какое наименьшее количество дней должен продолжаться фестиваль так, чтобы каждая труппа просмотрела выступления всех остальных?