Задача 1:

На какую цифру оканчивается квадрат натурального числа, если в разряде десятков квадрата стоит цифра 7?

Решение:

Запишем число в виде . Заметим, что четность цифры десятков определяется четностью десятков a². Следовательно a = 4 или a = 6. В обоих случаях последняя цифра квадрата равна 6.

Задача 2:

Найдите все пары натуральных чисел a,b, удовлетворяющих уравнению 2a² = 3b³.

Решение:

Пусть a = 2ⁿ3^mx, b = 2^k3^ly. Тогда 2n + 1 = 3k, 2m = 3l + 1 и x² = y³. Получаем, что k и l – произвольные нечетные числа, следовательно, n = 3t + 1, k = 2t + 1, l = 2s + 1, m = 3s + 2. Очевидно, что x = p³, y = p². Таким образом a = 2^3t + 13^3s + 2p³, b = 2^2t + 13^2s + 1p².

Задача 3:

Найдите наибольшее вещественное z такое, что при некоторых вещественных x и y

Решение:

Заметим, что x,y и z являются корнями многочлена P(t) = t³ – 5t² + 3t + a. Изменение параметра a соответствует сдвигу графика P вдоль оси ординат. При сдвиге графика вниз значение максимального корня многочлена увеличивается. Заметим, что многочлен должен иметь 3 вещественных корня, следовательно, максимальное значение z достигается в том случае, когда P имеет кратный корень x = y (максимально «низкое» положение графика, при котором есть 3 корня). Откуда 2x + z = 5, x² + 2xz – 3 = 0. Откуда x₁ = 3,z₁ =  – 1, . Следовательно, максимальное значение .

Задача 4:

Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке E. H и G – середины BD и AC соответственно. Найдите отношение площадей треугольника EHG и четырехугольника ABCD.

Решение:

( – псевдовекторное произведение). . Поскольку и , то Следовательно (поскольку ) S_EHG:S_ABCD = 1:4.

Задача 5:

Eve и Odette играют в следующую игру на доске 3 × 3: за свой ход игрок может поставить на любое свободное поле доски либо черную, либо белую шашку. В конце игры Eve получает по очку за каждую строчку, столбец, или диагональ, в которой нечетное количество черных шашек, Odette – за каждую строчку, столбец или диагональ с четным количеством черных шашек. Выигрывает тот, кто получит больше очков. a) Возможна ли ничья в этой игре? b) Опишите выигрышную стратегию дл первого игрока.

Задача 6:

Нарисуйте график x³ + xy + y³ = 3.