Задача 1:

Найдите все тройки вещественных чисел (x,y,z) такие, что сумма любого числа из тройки и произведения двух оставшихся равна 2.

Задача 2:

В треугольнике ABC угол A тупой. BD и AE – высоты. Докажите, что BC + AE ≥ AC + BD и определите когда достигается равенство.

Задача 3:

В ящике лежат синие и красные шары. Некоторые из шаров весят 1 фунт, остальные – 2 фунта. Докажите, что в ящике есть два шара разных цветов, которые различаются по весу.

Задача 4:

a) Найдите все натуральные числа, первая цифра которых – 6 и которые уменьшаются в 25 раз после стирания этой цифры.b) Докажите, что не существует числа, уменьшающегося в 35 раз после стирания первой цифры.

Решение:

a) 6 • 10ⁿ + a = 25a, откуда 6 • 10ⁿ = 24a и 4a = 10ⁿ. Откуда, подходят все числа вида 625 × 10^k (k ≥ 0). b) Очевидно, что уравнение 10ⁿc + a = 35a, где c – цифра не имеет решения (10ⁿc не делитс на 17).

Задача 5:

Докажите, что стороны четырехугольника вписанного в единичный квадрат удовлетворяют неравенству 2 ≤ a² + b² + c² + d² ≤ 4.

Решение:

Очевидно, что 1/2 ≤ x² + (1 – x)² ≤ 1 при x ∈ [0;1]. Дальше – теорема Пифагора.

Задача 6:

Даны три точки не лежащие на одной прямой. Постройте окружность с центром в одной из них, такую, что касательные, проведенные к ней из остальных точек были бы параллельны.

Решение:

Касательные должны быть параллельны медиане данного треугольника, проведенной из центра окружности.

Задача 7:

Докажите, что из любых пяти чисел всегда можно выбрать 3 с суммой делящейся на 3.

Решение:

Каких-то остатков будет 3.

Задача 8:

Найдите уравнение геометрического места середин отрезков длины 4, один из концов которых лежит на прямой y = x, а второй – на прямой y = 2x.

Задача 9:

f(n) – сумма n первых членов последовательности 0,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5, …  Найдите формулу для f(n) и докажите, что f(s + t) – f(s – t) = st (s > t > 0).

Задача 10:

Значение многочлена с целыми коэффициентами в четырех различных целых точках равно 5. Докажите, что ни в какой целой точке значение многочлена не равно 8.

Решение:

Многочлен Q = P – 5 имеет 4 различных целых корня, следовательно Q(x) = (x – a₁)(x – a₂)(x – a₃)(x – a₄)S(x). Заметим, что при всех целых x отличных от a_i по крайней мере 2 разности x – a_i по модулю не меньше 2. Следовательно |Q(x)| > 4 при всех целых x ≠ a_i. Следовательно, Q(x) ≠ 3.