Задача 1:

1) x = (1 + 1/n)ⁿ, y = (1 + 1/n)^n + 1. Докажите, что x^y = y^x.2) Докажите, что 1² – 2² + 3³ – 4² +  …  + ( – 1)ⁿ(n – 1)² + ( – 1)^n + 1n² = ( – 1)^n + 1(1 + 2 +  …  + n).

Задача 2:

В четырехугольнике ABCD на стороне BC взяли точки P и Q такие, что BP = PQ = QC. BC = 3AB. Докажите, что  ∠ DBC +  ∠ DPC =  ∠ DQC.

Задача 3:

Коэффициенты многочлена f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² +  …  + a_nxⁿ удовлетворяют неравенствам 0 ≤ a_i ≤ a₀. f(x)² = b₀ + b₁x +  …  + b_2nx²ⁿ. Докажите, что b_n + 1 ≤ f(1)²/2.

Задача 4:

0 ≤ x₁,x₂, … ,x_n ≤ 1. Найдите максимально возможное значение суммы модулей попарных разностей таких чисел.

Задача 5:

На окружности с диаметром AB взяли точку X отличную от A и B. Y – точка пересечения прямой BX и касательной к окружности в точке A, Z – пересечение AX и касательной в точке B. Докажите, что прямые AB, YZ и касательная в точке X либо параллельны, либо пересекаются в одной точке.

Задача 6:

Определите максимальную стоимость письма, которую нельзя оплатить используя 8 и 15-центовые марки.

Задача 7:

На рисунке изображено шоссе. Длина пути от остановки к к кольцевому шоссе длины 20 миль равна 1 мили. Автобус  1 выезжает от остановки, едет один круг по часовой стрелке и возвращается на остановку, откуда сразу выезжает снова. Через 10 минут, после отъезда автобуса  1 от остановки, выезжает автобус  2, который объезжает круг против часовой стрелки. Автобусы двигаются с постоянной скоростью 1 миля/мин. Путешественник находится на расстоянии x по маршруту 1 автобуса (0 ≤ x < 12). Он едет на том автобусе, на котором он раньше приедет на остановку. Обозначим w(x) – максимально возможное время пути (в которое входит время ожидания автобуса). Найдите w(2) и w(4). Определите при каких x значение w(x) максимально. Нарисуйте график y = w(x) (0 ≤ x < 12).